I. Efficacité de la démonstration
La capacité de la démonstration à atteindre la certitude paraît elle-même solidement fondée. Plus exactement, muni de cet outil, la raison atteint la vérité en trois temps successifs.
Dans un premier temps, la démonstration dénonce victorieusement les "sophismes" - ces raisonnements d'apparence correcte, mais en réalité non conclusifs. Aristote consacre un livre entier (les Réfutations sophistiques) à énumérer ces raisonnements fallacieux et à montrer leur caractère invalide. Plus particulièrement, la démonstration enseigne à se méfier de deux types de raisonnements qui ne parviennent pas à atteindre des "certitudes fermes et assurées".
D'une part, l'induction, raisonnement par lequel on passe du particulier au général. Par exemple : ce corbeau est noir, et aussi ce deuxième corbeau, et troisième, etc. et ce centième corbeau, donc : tous les corbeaux sont noirs. Russell souligne combien ce type de raisonnement peut paraître naturel et bien fondé ; et d'un même souffle, il nous montre combien nous devons nous en défier :
Ce genre d'associations n'est pas réservé à l'homme ; on le trouve de façon très marquée chez l'animal. Un cheval qu'on a souvent mené sur une route résiste à changer de direction. Les animaux domestiques s'attendent à manger dès qu'ils voient la personne qui leur apporte d'ordinaire leur nourriture. Nous savons bien qu'en raison de leur caractère rudimentaire, ces attentes de l'uniformité peuvent être déçues. l'homme qui a nourri le poulet tous les jours de sa vie finit par lui tordre le cou, montrant par là qu'il eût été bien utile au dit poulet d'avoir une vision plus subtile de l'uniformité de la nature.
Qu'elles induisent ou non en erreur, ces attentes n'en existent pas moins. Le simple fait qu'un événement s'est produit uncertain nombre de fois provoque chez l'animal comme chez l'homme l'attente de son retour. Et il est bien certain que nous instincts causent notre croyance que le soleil se lèvera demain : mais peut-être ne sommes-nous pas en meilleure position que le poulet à qui, sans qu'il s'y attende, on a tordu le cou. [Les] uniformités passées sont la cause d'attentes quant au futur [...].
Qu'elles induisent ou non en erreur, ces attentes n'en existent pas moins. Le simple fait qu'un événement s'est produit uncertain nombre de fois provoque chez l'animal comme chez l'homme l'attente de son retour. Et il est bien certain que nous instincts causent notre croyance que le soleil se lèvera demain : mais peut-être ne sommes-nous pas en meilleure position que le poulet à qui, sans qu'il s'y attende, on a tordu le cou. [Les] uniformités passées sont la cause d'attentes quant au futur [...].Russell, Problèmes de philosophie, VI (trad. François Rivenc, Russell souligne).
(Ci-contre, Feathered Friends par Edgar Hunt.)
Cent, mille, un millions de matins où l'éleveur vient donner à manger au poulet n'enlèvent rien au fait que le, le matin suivant, le poulet sera bien surpris. Il se laisse prendre à ce que l'on appelle volontiers une généralisation abusive. Signalons encore un exemple : "j’ai eu deux mauvaises notes consécutives, donc je suis nul" : heureusement, c'est faux !
D'autre part, l’analogie, raisonnement par lequel, d’une ressemblance entre des propriétés possédées par deux choses différentes, on infère une autre similitude entre ces deux choses. Par exemple, un cheval a un cœur qui possède telle et telle fonction, or l’humain a aussi un cœur, donc le cœur de l’humain possède lui aussi telle et telle fonction. Par de telles comparaisons, les vétérinaires du Moyen Age parvinrent à découvrir des éléments chirurgicaux d'anatomie humaine (la dissection des cadavres était interdite jusqu'au XIIIè siècle). Cependant, l'analogie menace de conduire à une erreur grave : passer subrepticement de la ressemblance à l’identité. Pour ne nous fâcher avec personne, donnons deux exemples, un de droite et un de gauche : les chômeurs en France sont au nombre de trois millions, et les étrangers en France sont au nombre de trois millions, donc... ; les malfrats sont inculpés or certains chefs d’entreprise sont inculpés, donc... Donc, rien, évidemment. Une ressemblance superficielle ne permet aucunement de conclure à l'identité - sinon, à ce compte, une fraise est la même chose qu'une Ferrari. L’analogie, c’est la peste du raisonnement.
La démonstration se veut d'un purisme immaculé. Peut-être l'induction et l'analogie parviennent-elles à l'occasion à produire des conclusions justes ; mais il est certain, par expérience, qu'elles donnent parfois des conclusions fausses. Il n'en faut pas plus pour affirmer le caractère incertain de ces raisonnements. Suivant une sorte de "principe de précaution" intellectuel, la démonstration les récuse.
Entreprise de démolition en apparence discutable : à ce rythme, que va-t-il rester de nos connaissances ?
En fait, dans un deuxième temps, la démonstration atteint sa positivité propre. Elle doit en passer par ce défrichage mental pour laisser apparaître les "bons raisonnements". Ainsi procède Sherlock Holmes, ce "monstre de logique" comme le qualifia un jour le bon Dr Watson : lorsque vous avez éliminé l'impossible, ce qui reste, aussi improbable que cela paraisse, doit être la vérité (Sir Arthur Conan Doyle, The Sign of Four, disponible en VO et en texte intégral ici). (Ci-contre, William Gillette incarne le célèbre détective dans un film de 1939, The Adventures of Sherlock Holmes.)Cette positivité de la démonstration apparaît encore mieux dans le troisième temps, où surgit sa puissance dynamique.
Une conclusion certaine, en effet, est atteinte une bonne fois pour toutes. Nul besoin de redémontrer toute la géométrie d'Euclide à chaque génération de géomètres : tout au plus retrouver ces démonstrations peut-il être recommandé à titre d'exercice. Remarquons aussi l'extrême économie de moyens pour la démonstration. C'est vraiment un art minimaliste : un crayon, un bout de papier, suffisent pour concevoir toute la géométrie. Dans les règles avancées, on peut même se passer de toute écriture : le cerveau, à plein régime, se suffit à lui-même.
Mieux encore : puisque la démonstration estampille la conclusion du cachet de la vérité, une bonne fois pour toutes, il s'ensuit que cette conclusion peut à son tour être employée comme prémisse d'une nouvelle démonstration - exactement comme un théorème mathématique peut servir d'axiome dans un théorème nouveau. Ces "longues chaînes de raisons", pour reprendre l'expression de Descartes, se composent de maillons aussi solides les uns que les autres. La démonstration garantit le progrès de la connaissance. Pourvu qu'on avance avec ordre et méthode, on finira par tout découvrir, tout expliquer et tout comprendre.
Mieux encore : puisque cette connaissance est reconnue ou admise comme certaine, sitôt qu'un théorème, si éloigné soit-il des axiomes de départ, a été correctement démontré, l'utilisateur peut s'y fier aveuglément. Qu'importe si un architecte ne sait pas très bien, au juste, pourquoi le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ? Le fait est que ça marche. Il peut laisser à d'autres experts le soin de démontrer les propriétés du triangle : lui leur fait entièrement confiance. Il le peut.
Russell va même plus loin.
Cette leçon paraît déroutante : de facto, nous pouvons parfois atteindre une connaissance absolument certaine de certaines choses dont nous ne savons, par ailleurs, absolument rien - et même que nous n'avons jamais vues, ni conçues.
Censure imparable des raisonnements fallacieux, critère lumineux du vrai, caution du progrès scientifique : que demander de plus à la démonstration ? Quelle discipline ne rêverait de s'y fondre ?
Suite du cours : universalité de la démonstration.
Une conclusion certaine, en effet, est atteinte une bonne fois pour toutes. Nul besoin de redémontrer toute la géométrie d'Euclide à chaque génération de géomètres : tout au plus retrouver ces démonstrations peut-il être recommandé à titre d'exercice. Remarquons aussi l'extrême économie de moyens pour la démonstration. C'est vraiment un art minimaliste : un crayon, un bout de papier, suffisent pour concevoir toute la géométrie. Dans les règles avancées, on peut même se passer de toute écriture : le cerveau, à plein régime, se suffit à lui-même.
Mieux encore : puisque la démonstration estampille la conclusion du cachet de la vérité, une bonne fois pour toutes, il s'ensuit que cette conclusion peut à son tour être employée comme prémisse d'une nouvelle démonstration - exactement comme un théorème mathématique peut servir d'axiome dans un théorème nouveau. Ces "longues chaînes de raisons", pour reprendre l'expression de Descartes, se composent de maillons aussi solides les uns que les autres. La démonstration garantit le progrès de la connaissance. Pourvu qu'on avance avec ordre et méthode, on finira par tout découvrir, tout expliquer et tout comprendre.
Mieux encore : puisque cette connaissance est reconnue ou admise comme certaine, sitôt qu'un théorème, si éloigné soit-il des axiomes de départ, a été correctement démontré, l'utilisateur peut s'y fier aveuglément. Qu'importe si un architecte ne sait pas très bien, au juste, pourquoi le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ? Le fait est que ça marche. Il peut laisser à d'autres experts le soin de démontrer les propriétés du triangle : lui leur fait entièrement confiance. Il le peut.
Russell va même plus loin.
Plus intéressant est l'autre point, et d'une plus grande portée philosophique. Il peut arriver que nous connaissions une proposition générale dont nous ne connaissons pas une seule instance. Prenons l'exemple suivant : nous savons que deux nombres, multipliés l'un par l'autre, donnent un troisième nombre, ou produit. Tous les entiers dont les produits deux à deux est inférieur à 100 ont été effectivement multipliés l'un par l'autre, nous le savons, et la valeur du produit est consignée dans les tables de multiplication. Mais nous savons aussi qu'il y a un nombre infini d'entiers, et que seul un nombre fini de paires d'entiers a été et sera pensé par des êtres humains. Il s'ensuit qu'il y a des paires d'entiers qui n'ont jamais et ne seront jamais pensées par l'homme, chacune d'elle étant constituée d'entiers dont le produit est supérieur à 100. Nous arrivons alors à la proposition suivante : "Le produit deux à deux de tous les entiers qui n'ont jamais été ni ne seront jamais pensés par des êtres humains est supérieur à 100." La vérité de cette proposition générale est indéniable, et pourtant, à raison même de la nature du cas, nous ne pouvons en exhiber un seul exemple ; toute paire concevable de nombres est en effet exclue par la lettre même de la proposition.
Russell, Problèmes de philosophie, X (trad. François Rivenc, Russell souligne)
Cette leçon paraît déroutante : de facto, nous pouvons parfois atteindre une connaissance absolument certaine de certaines choses dont nous ne savons, par ailleurs, absolument rien - et même que nous n'avons jamais vues, ni conçues.
Censure imparable des raisonnements fallacieux, critère lumineux du vrai, caution du progrès scientifique : que demander de plus à la démonstration ? Quelle discipline ne rêverait de s'y fondre ?
Suite du cours : universalité de la démonstration.
par Jérôme Coudurier-Abaléa
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Notions