II. Universalité de la démonstration
La puissance de la démonstration laisse rêveur ; et ce d'autant plus qu'on l'emploie, effectivement, dans tous les domaines de la connaissance. En sciences pures (mathématiques, logique et géométrie), évidemment, mais aussi en sciences naturelles (physique, chimie, astronomie, biologie, médecine etc.), en sciences humaines (économie, psychologie, histoire - par exemple pour répondre à une question comme : "Napoléon a-t-il été empoisonné ?", le chercheur recourra, comme un commissaire de police, à des indices qu'il combinera dans un raisonnement démonstratif), et même en arts : comme l'explique Hume (voir ce cours), l'artiste désireux de produire tel effet dans le public emploiera tel procédé, et non tel autre, en raison d'un raisonnement de type démonstratif.
Cette interdisciplinarité de la démonstration se trouve, au premier chef, sous une plume prestigieuse :
La philosophie est écrite dans cet immense livre qui se tient toujours ouvert devant nos yeux, je veux dire l’Univers, mais on ne peut le comprendre si l’on ne s’applique d’abord à en comprendre la langue et à connaître les caractères avec lesquels il est écrit. Il est écrit dans la langue des mathématiques et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans le moyen desquels il est humainement impossible d’en comprendre un mot. Sans eux, c’est une errance vaine dans un labyrinthe obscur.
Galilée, L’essayeur.
Si, en effet, on peut utiliser la démonstration dans tous les domaines de la connaissance, alors il doit être possible de séparer l'étude de la démonstration de toutes les autres sciences, et d'un faire une science spécifique : la logique. Aristote, qu'on a pu saluer comme le "père" de la logique, lui confère ainsi une existence à part entière : il lui consacre un ouvrage monumental, l'Organon (titre qui signifie "l'outil", en grec, mais il semble que le titre ne soit pas d'Aristote lui-même).
Le coeur de l'oeuvre logique aristotélicienne élabore une "théorie du syllogisme" dont il convient à présent de dire quelques mots. Reprenons le syllogisme initial, composé de deux prémisses et d’une conclusion (soit au total trois propositions) :Tout félin est un mammifère
Et toutes les panthères sont des félins
Donc toutes les panthères sont des mammifères.
(Photographie (c) Dynamic Graphics Group / Creatas / Alamy.)
Examinons la structure du raisonnement. On compte trois paires de mots (en logique, on les appelle des "termes") dans le syllogisme : "félin" (première et deuxième proposition), "mammifère" (première et troisième proposition), "panthère" (deuxième et troisième proposition). Chaque "terme" est employé exactement deux fois.
Ceci noté, combien existe-t-il de panthères ? Disons quelques milliers. Combien de félins ? En comptant les chats, les léopards, etc, sans doute quelques millions. Combien de mammifères ? Encore beaucoup plus. Le terme qui se rapporte au plus grand des ensembles s’appelle le "grand extrême" (en l'occurrence, mammifère). Le terme qui se rapporte au plus petit des ensembles s’appelle le "petit extrême" (en l'occurrence, panthère). Le dernier terme s’appelle le "moyen terme" (en l'occurrence, félin). La prémisse qui porte le grand extrême s’appelle la majeure, celle qui porte le petit extrême s’appelle la mineure.
Le moyen terme, lui, figure dans les deux prémisses, mais disparaît dans la conclusion, qui ne retient plus que les deux extrêmes (le petit et le grand). On comprend alors le fonctionnement du syllogisme : il s’agit de mettre en rapport un cas particulier et un principe général, par le biais d’un intermédiaire qui joue le rôle de "courroie" et qui disparaît une fois la transmission assurée. En d'autres termes : parce que le groupe (en logique, on parle de "classe") des félins est entièrement compris dans la classe des mammifères, et parce que la classe des panthères est entièrement comprise dans celle des félins, il s'ensuit forcément que la classe des panthères est entièrement comprise dans celle des mammifères.
Remarquons que le syllogisme part du grand extrême pour y insérer un petit extrême : il part du général pour aller vers le particulier. Il raisonne donc en sens inverse de l'induction. On appelle ce type de raisonnement une déduction ; et cette déduction marche à tous les coups, pourvu que les règles de construction du syllogisme soient respectées - en particulier, qu'il existe un moyen terme, et qu'il n'apparaisse pas dans la conclusion.
Développer intégralement la théorie du syllogisme excède les ambitions de ce cours. Une bonne présentation est disponible ici.
En revanche, il convient d'insister sur une caractéristique importante du syllogisme à partir de laquelle son universalité absolue peut être démontrée.
Le syllogisme établit en effet des relations entre trois classes incluses les unes dans les autres. Plus précisément, une relation d'inclusion se joue entre deux classes, l'une incluant l'autre. En logique et en philosophie, on nomme "espèce" la classe incluse, et "genre" la classe incluante. Il faut remarquer que ces termes sont relatifs au degré de précision souhaité. Par exemple, pour les logiciens, dans la majeure de notre syllogisme, "félins" est l'espèce, "mammifère" le genre (pour les logiciens, j'insiste : ce vocabulaire serait exclu en zoologie ou en botanique). Dans la mineure, c'est "panthère" l'espèce, et "félins" devient le genre. Au sein d'un genre, chaque espèce se distingue des autres par une "différence spécifique" (par exemple, parmi les félins, les jaguars se distinguent des panthères par leur pelage moucheté : telle est leur différence spécifique). (Ci-contre, Cercles dans un cercle, Wassily Kandinsky, 1923.)On remarque que "félins" est espèce dans la majeure, et genre dans la mineure. Autrement dit, une même classe peut être un genre dans un syllogisme, ou une espèce dans un autre, au libre choix du logicien qui raisonne. Par voie de conséquence, on peut élaborer des classes à l'infini : dans la grandeur (au-delà des mammifère, on trouve par exemple les vertébrés, les animaux, les vivants, les êtres matériels... jusqu'à l'Univers tout entier), ou dans la précision (parmi les panthères, on peut distinguer les panthères vivant en France, puis parmi elles celles du zoo de Vincennes, etc. jusqu'à trouver des classes qui contiennent exactement un élément : telle panthère particulière).
Conséquence : tout objet dans l'Univers peut être classé selon cette nomenclature universelle. Mieux encore : tout objet dans l'Univers peut être exactement défini par deux concepts : son genre, et sa différence spécifique. Dans le meilleur des cas, deux mots suffisent - et c'est l'économie de moyens retenue en botanique et en zoologie, notamment (plantes et animaux portent tous un nom composé de deux mots latins - ainsi Panthera pardus ou Arnica montana).
Tout objet de l'Univers (y compris l'Univers lui-même) étant classé, ou du moins classable, il s'ensuit que tout objet peut à un moment ou un autre trouver un emploi dans un syllogisme ; et comme les syllogismes, à l'instar de toute démonstration, peuvent s'enchaîner, il s'ensuit évidemment que chaque objet dans l'Univers, y compris l'Univers lui-même, trouve à s'insérer dans une seule immense démonstration reflétant exactement l'intégralité du réel.
Qu'attend-on, alors, pour y travailler ?
[Comme] j’ai eu le bonheur de perfectionner considérablement [l’]analyse des mathématiciens, j’ai commencé à avoir certaines vues toutes nouvelles pour réduire tous les raisonnements humains à une espèce de calcul, qui servirait à découvrir la vérité, autant qu’il se peut faire, […] à partir de ce qui est donné ou connu, et lorsque les connaissances donnés ne suffisent pas à résoudre la question proposée, cette méthode servirait comme dans les mathématiques à déterminer ce qui est le plus probable.
Cette sorte de calcul général donnerait en même temps une espèce d’écriture universelle [qui] pourrait être bientôt reçue dans le Monde parce qu’elle pourrait être apprise en peu de semaines.
Mais ce serait le moindre de ses avantages, car cette même écriture serait une espèce d’Algèbre générale et donnerait le moyen de raisonner en calculant, de sorte qu’au lieu de disputer, on pourrait dire : comptons. Et il se trouverait que les erreurs du raisonnement ne seraient que des erreurs de calcul qu’on découvrirait par des épreuves comme dans l’Arithmétique.
Cette sorte de calcul général donnerait en même temps une espèce d’écriture universelle [qui] pourrait être bientôt reçue dans le Monde parce qu’elle pourrait être apprise en peu de semaines.
Mais ce serait le moindre de ses avantages, car cette même écriture serait une espèce d’Algèbre générale et donnerait le moyen de raisonner en calculant, de sorte qu’au lieu de disputer, on pourrait dire : comptons. Et il se trouverait que les erreurs du raisonnement ne seraient que des erreurs de calcul qu’on découvrirait par des épreuves comme dans l’Arithmétique.
Leibniz, Scientia Generalis, Characteristica
En vue de réaliser cette "caractéristique universel", tout à la fois démonstration intégrale du réel et système d'écriture parfait (voir aussi ce cours), Leibniz, continuateur de Descartes, saute sur l'occasion, offerte par Frédéric Ier, de diriger l'Académie royale des sciences qu'il vient de fonder à Berlin. Encyclopédiste avant la lettre, il tentera de coordonner les travaux de dizaines, peut-être même de centaines de chercheurs européens. A la même époque, et dans le même esprit, Spinoza rédige l'Ethique, un des textes les plus géniaux de toute l'histoire de la pensée humaine, où non seulement les phénomènes et la réalité, mais aussi toute la psychologie humaine, toute la métaphysique, toute la morale, se trouvent déduits d'une poignée d'axiomes et de définitions, avec une pure rigueur géométrique.
Suite du cours : l'indémontrable.
par Jérôme Coudurier-Abaléa
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Notions